Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В правильную 6-угольную призму со стороной основания 1 вписана сфера. Найдите высоту призмы.

Ответ

\(\sqrt{3}\)

Решение № 48104:

Для решения задачи о нахождении высоты правильной 6-угольной призмы со стороной основания 1, в которую вписана сфера, выполним следующие шаги:

1. Запишем, что у нас есть правильная 6-угольная призма со стороной основания \(a = 1\).
2. Обозначим высоту призмы как \(h\).
3. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной основанию призмы. Это сечение будет правильным шестиугольником со стороной \(a\).
4. Радиус \(R\) описанной окружности правильного шестиугольника равен радиусу сферы, вписанной в призму.
5. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности \(R\) связан со стороной \(a\) следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставим \(a = 1\): \[ R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
6. Поскольку сфера вписана в призму, её радиус равен \(R\), а высота призмы \(h\) равна диаметру сферы, то есть \(2R\).
7. Подставим значение \(R\): \[ h = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, высота призмы равна \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).