Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Дана треугольная пирамида \(SABC\). Грань \(SCB\) перпендикулярна плоскости основания; ребра \(SC\) и \(SB\) равны \(a\); плоские углы при вершине равны между собой и равны \(60^{\circ} \). Определите радиус вписанной сферы.
Ответ
\(\frac{a\sqrt{3}}{4+\sqrt{2}}\)
Решение № 48103:
Для решения задачи определения радиуса вписанной сферы в треугольную пирамиду \(SABC\) с указанными условиями, выполним следующие шаги:
- Запишем условия задачи:
- Грань \(SCB\) перпендикулярна плоскости основания \(ABC\).
- Ребра \(SC\) и \(SB\) равны \(a\).
- Плоские углы при вершине \(S\) равны \(60^\circ\).
- Определим геометрические свойства пирамиды:
- Поскольку \(SCB\) перпендикулярна плоскости основания, \(SC\) и \(SB\) являются высотами пирамиды.
- Плоские углы при вершине \(S\) равны \(60^\circ\), что означает, что треугольник \(SBC\) равносторонний.
- Вычислим высоту \(h\) треугольника \(SBC\):
- Высота равностороннего треугольника с стороной \(a\) равна \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\).
- Определим высоту пирамиды \(SO\):
- Высота пирамиды \(SO\) равна высоте треугольника \(SBC\), так как \(SCB\) перпендикулярна плоскости основания.
- Таким образом, \(SO = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).
- Определим радиус \(r\) вписанной сферы:
- Центр вписанной сферы находится на высоте пирамиды \(SO\).
- Радиус вписанной сферы \(r\) можно найти, используя формулу для расстояния от вершины до центра вписанной сферы в правильной треугольной пирамиде:
- Формула для радиуса вписанной сферы в правильной треугольной пирамиде: \(r = \frac{h}{3}\), где \(h\) — высота пирамиды.
- Подставим высоту пирамиды в формулу:
\[
r = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6}
\]
Таким образом, радиус вписанной сферы в треугольную пирамиду \(SABC\) равен \(\frac{a \sqrt{3}}{6}\).
Ответ: \(\frac{a \sqrt{3}}{6}\)