Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, основанием которой служит ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). Углы между боковыми гранями и основанием равны \(\varphi \).
Ответ
\(\frac{1}{2}a\cdot sin \alpha \cdot tg\frac{\varphi}{2}\)
Решение № 48102:
Для решения задачи по нахождению радиуса сферы, вписанной в пирамиду, основанием которой служит ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\), и углами между боковыми гранями и основанием \(\varphi\), выполним следующие шаги:
- Обозначим радиус вписанной сферы как \(r\).
- Рассмотрим пирамиду с основанием в виде ромба ABCD и вершиной S.
- Опустим перпендикуляр из вершины S на основание в точку пересечения диагоналей ромба, обозначим эту точку как O. Это будет центр вписанной сферы.
- Рассмотрим треугольник SBO, где BO - половина диагонали ромба.
- Длина диагонали ромба, проходящей через угол \(\alpha\), равна \(2a \cos(\alpha/2)\).
- Высота пирамиды SO можно найти из треугольника SBO, где \(\angle SBO = \varphi\):
\[
SO = BO \cdot \tan(\varphi) = a \cos(\alpha/2) \cdot \tan(\varphi)
\]
- Радиус вписанной сферы \(r\) можно найти как расстояние от центра O до середины высоты пирамиды. В треугольнике SOE (где E - середина стороны ромба):
\[
r = SO \cdot \sin(\varphi/2)
\]
- Подставим выражение для SO:
\[
r = a \cos(\alpha/2) \cdot \tan(\varphi) \cdot \sin(\varphi/2)
\]
- Упростим выражение:
\[
r = a \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} \cdot \sin(\varphi/2)
\]
\[
r = a \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\sin(\varphi) \cdot \sin(\varphi/2)}{\cos(\varphi)}
\]
Таким образом, радиус сферы, вписанной в пирамиду, равен:
\[
r = a \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\sin(\varphi) \cdot \sin(\varphi/2)}{\cos(\varphi)}
\]
Ответ:
\[
r = a \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\sin(\varphi) \cdot \sin(\varphi/2)}{\cos(\varphi)}
\]