Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, у которой высота равна \(h\), а угол между боковой гранью и основанием равен \(60^{\circ} \).

Ответ

\(\frac{h}{3}\)

Решение № 48101:

Для решения задачи о нахождении радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой \(h\) и углом между боковой гранью и основанием \(60^\circ\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду \(ABCD\) с вершиной \(D\) и основанием \(ABC\).
2. Пусть \(O\) — центр сферы, вписанной в пирамиду, а \(r\) — радиус этой сферы.
3. Пусть \(M\) — центр основания \(ABC\), а \(DM\) — высота пирамиды, равная \(h\).
4. Угол между боковой гранью \(DAB\) и основанием \(ABC\) равен \(60^\circ\).
5. Пусть \(K\) — середина стороны \(AB\). Тогда \(DK\) — апофема пирамиды.
6. В треугольнике \(DKM\) угол \(DKM = 60^\circ\).
7. Из треугольника \(DKM\) найдем сторону \(KM\): \[ KM = DM \cdot \cos(60^\circ) = h \cdot \frac{1}{2} = \frac{h}{2} \]
8. Теперь найдем \(DK\): \[ DK = \frac{DM}{\sin(60^\circ)} = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} \]
9. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\). Получим равносторонний треугольник \(DEF\) с центром \(S\), который является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
10. Радиус этой окружности равен: \[ r = \frac{DK \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{2h}{6} = \frac{h}{3} \]
11. Таким образом, радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен: \[ r = \frac{h}{3} \]

Ответ: \( \frac{h}{3} \)