Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

По ребру \(a\) тетраэдра определите радиус вписанной сферы.

Ответ

\(\frac{a\sqrt{6}}{12}\)

Решение № 48100:

Для решения задачи о нахождении радиуса вписанной сферы в тетраэдр с ребром \(a\) выполним следующие шаги:

1. Определим объем тетраэдра \(V\). Формула объема правильного тетраэдра с ребром \(a\): \[ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \]
2. Определим площадь одной грани тетраэдра \(S\). Площадь одной грани правильного тетраэдра (равностороннего треугольника): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
3. Определим полную площадь поверхности тетраэдра \(S_{\text{полн}}\). Полная площадь поверхности тетраэдра, состоящего из 4 граней: \[ S_{\text{полн}} = 4S = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3} \]
4. Используем формулу для радиуса вписанной сферы \(r\) тетраэдра: \[ r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}} \]
5. Подставим значения объема \(V\) и полной площади поверхности \(S_{\text{полн}}\) в формулу: \[ r = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}}{a^2 \sqrt{3}} \]
6. Упростим выражение: \[ r = \frac{a^3 \sqrt{2}}{4 a^2 \sqrt{3}} \]
7. Сократим \(a^2\) и упростим коэффициенты: \[ r = \frac{a \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}} \]
8. Упростим выражение, используя свойства корней: \[ r = \frac{a \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{12} \]

Таким образом, радиус вписанной сферы в тетраэдр с ребром \(a\) равен: \[ r = \frac{a \sqrt{6}}{12} \] Ответ: \[ \boxed{\frac{a \sqrt{6}}{12}} \]