Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите радиус сферы, вписанной в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом \(\alpha\) и гипотенузой \(c\).
Ответ
\(\frac{c\left ( sin\alpha +cos\alpha -1 \right )}{2}\)
Решение № 48099:
Для решения задачи о нахождении радиуса сферы, вписанной в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом \(\alpha\) и гипотенузой \(c\), выполним следующие шаги:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом \(\alpha\), гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\).
- Используем теорему Пифагора для нахождения связи между катетами и гипотенузой:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
- Катеты \(a\) и \(b\) можно выразить через гипотенузу \(c\) и угол \(\alpha\):
\[
a = c \sin \alpha
\]
\[
b = c \cos \alpha
\]
- Радиус \(r\) сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу круга, вписанного в основание призмы (прямоугольный треугольник).
- Формула для радиуса \(r\) круга, вписанного в прямоугольный треугольник, выражается через полупериметр \(p\) и площадь \(S\) треугольника:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
- Найдем полупериметр \(p\) треугольника:
\[
p = \frac{a + b + c}{2}
\]
- Найдем площадь \(S\) треугольника:
\[
S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c \sin \alpha \cdot c \cos \alpha = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha
\]
- Подставим выражения для \(p\) и \(S\) в формулу для радиуса \(r\):
\[
r = \frac{\frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{a + b + c}{2}}
\]
- Упростим выражение для радиуса \(r\):
\[
r = \frac{c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{a + b + c}
\]
- Подставим выражения для \(a\) и \(b\) через \(c\) и \(\alpha\):
\[
r = \frac{c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{c \sin \alpha + c \cos \alpha + c}
\]
- Упростим выражение, вынеся \(c\) за скобки:
\[
r = \frac{c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{c (\sin \alpha + \cos \alpha + 1)}
\]
- Сократим на \(c\):
\[
r = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha + 1}
\]
Таким образом, радиус сферы, вписанной в прямую призму с основанием в виде прямоугольного треугольника с острым углом \(\alpha\) и гипотенузой \(c\), равен:
\[
r = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha + 1}
\]