Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сфера касается боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды и ее основания. Определите радиус сферы, диагональным сечением пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна \(a\).

Ответ

\(\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Решение № 48098:

Для решения задачи определения радиуса сферы, касающейся боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды и ее основания, выполним следующие шаги:

1. Обозначим радиус сферы как \(R\).
2. Обозначим сторону основания пирамиды как \(a\).
3. Обозначим апофему пирамиды (высоту боковой грани) как \(l\).
4. Обозначим высоту пирамиды как \(h\).
5. Обозначим центр основания пирамиды как \(O\).
6. Обозначим вершину пирамиды как \(S\).
7. Обозначим центр сферы как \(C\).

8. Поскольку диагональное сечение пирамиды является равносторонним треугольником со стороной \(a\), то апофема \(l\) равна половине стороны основания: \[ l = \frac{a}{2} \]

9. Высота пирамиды \(h\) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в треугольнике с катетами \(h\) и \(\frac{a}{2}\) и гипотенузой \(l\): \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \]

10. Центр сферы \(C\) находится на высоте пирамиды \(h\) и на расстоянии \(R\) от вершины \(S\) и от центра основания \(O\).

11. Так как сфера касается боковых ребер пирамиды, расстояние от вершины \(S\) до центра сферы \(C\) равно \(R\).

12. Так как сфера касается основания пирамиды, расстояние от центра основания \(O\) до центра сферы \(C\) также равно \(R\).

13. Таким образом, высота пирамиды \(h\) равна сумме радиуса сферы \(R\) и радиуса сферы, проецируемого на высоту пирамиды: \[ h = R + \frac{R}{2} \]

14. Подставим значение \(h\) из шага 9: \[ \frac{a}{2} = R + \frac{R}{2} \]

15. Решим уравнение для \(R\): \[ \frac{a}{2} = \frac{3R}{2} \] \[ a = 3R \] \[ R = \frac{a}{3} \]

Таким образом, радиус сферы \(R\) равен \(\frac{a}{3}\). Ответ: \(\frac{a}{3}\)