Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, вписанные в сферу,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Ребро октаэдра равно \(a\). Найдите радиус описанной около него сферы.

Ответ

\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Решение № 48087:

Для решения задачи о нахождении радиуса описанной сферы октаэдра с ребром \(a\), выполним следующие шаги:

1. Вспомним, что октаэдр — это правильный многогранник, у которого все грани — равносторонние треугольники, а все ребра равны. Рассмотрим октаэдр с ребром длины \(a\).
2. Радиус описанной сферы октаэдра можно найти, используя геометрические свойства октаэдра. Октаэдр можно вписать в куб так, что вершины октаэдра будут расположены в центрах граней куба.
3. Ребро куба, в который вписан октаэдр, равно \(a\sqrt{2}\), где \(a\) — длина ребра октаэдра. Это следует из того, что диагональ квадрата (грани куба) равна \(\sqrt{2}\) ребра квадрата.
4. Радиус описанной сферы октаэдра равен половине диагонали куба, в который вписан октаэдр. Диагональ куба с ребром \(a\sqrt{2}\) равна \(a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}\).
5. Таким образом, радиус описанной сферы октаэдра равен: \[ R = \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \]

Таким образом, радиус описанной сферы октаэдра равен \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\). Ответ: \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\)