Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, вписанные в сферу,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

На рисунке изображена пирамида \(ABCD\), у которой углы \(ADC\) , \(CDB\) и \(ADB\) прямые. Докажите, что точка \(O\) является центром сферы, описанной около пирамиды.

Ответ

NaN

Решение № 48077:

Для решения задачи о том, что точка \(O\) является центром сферы, описанной около пирамиды \(ABCD\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим пирамиду \(ABCD\) с прямыми углами \( \angle ADC \), \( \angle CDB \) и \( \angle ADB \).
2. Заметим, что углы \( \angle ADC \), \( \angle CDB \) и \( \angle ADB \) являются прямыми, то есть каждый из них равен \(90^\circ\).
3. Следовательно, треугольники \(ADC\), \(CDB\) и \(ADB\) являются прямоугольными треугольниками.
4. Рассмотрим точку \(O\), которая является точкой пересечения медиан треугольников \(ADC\), \(CDB\) и \(ADB\).
5. В прямоугольных треугольниках медианы, проведенные к гипотенузам, равны половине гипотенузы. Это следует из теоремы о медиане прямоугольного треугольника.
6. Таким образом, медианы \(DO\), \(CO\) и \(BO\) равны половине гипотенуз треугольников \(ADC\), \(CDB\) и \(ADB\) соответственно.
7. Следовательно, \(DO = CO = BO\), что означает, что точка \(O\) равноудалена от вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
8. Поскольку точка \(O\) равноудалена от всех вершин пирамиды \(ABCD\), она является центром сферы, описанной около этой пирамиды.

Таким образом, точка \(O\) действительно является центром сферы, описанной около пирамиды \(ABCD\).