Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, вписанные в сферу,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

На рисунке изображена пирамида \(ABCD\). Ребро \(AD\) перпендикулярно плоскости основания; угол \(ACB\) равен \(90^{\circ}\). Укажите на чертеже точку \(O\) - центр сферы; описанной около пирамиды.

Ответ

NaN

Решение № 48070:

Для решения задачи о нахождении точки \(O\), центра сферы, описанной около пирамиды \(ABCD\), выполним следующие шаги:

1. Определим основные свойства пирамиды:
   • Ребро \(AD\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).
   • Угол \(ACB\) равен \(90^{\circ}\), что означает, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным треугольником.
2. Рассмотрим основание пирамиды \(ABC\):
   • Поскольку \(ACB\) является прямоугольным треугольником, точка \(O\) основания пирамиды будет серединой гипотенузы \(AB\).
   • Обозначим эту середину как \(M\).
3. Определим координаты точки \(M\):
   • Если \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C(0, b, 0)\), то координаты точки \(M\) будут \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0\right)\).
4. Рассмотрим точку \(O\), центр сферы, описанной около пирамиды:
   • Поскольку ребро \(AD\) перпендикулярно плоскости основания, точка \(O\) будет находиться на перпендикуляре, проведенном из точки \(M\) к ребру \(AD\).
   • Обозначим координаты точки \(D\) как \((0, 0, h)\).
5. Определим координаты точки \(O\):
   • Поскольку \(O\) находится на перпендикуляре к \(AD\), координаты точки \(O\) будут \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, z\right)\), где \(z\) - это высота от точки \(M\) до точки \(O\).
6. Найдем высоту \(z\):
   • Поскольку \(O\) является центром сферы, описанной около пирамиды, радиус сферы будет равен половине длины высоты пирамиды \(AD\).
   • Высота пирамиды \(AD\) равна \(h\), следовательно, радиус сферы \(R = \frac{h}{2}\).
   • Так как \(O\) находится на перпендикуляре к \(AD\), то \(z = \frac{h}{2}\).
7. Заключительные координаты точки \(O\):
   • Таким образом, координаты точки \(O\) будут \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)\).

Ответ: Точка \(O\), центр сферы, описанной около пирамиды \(ABCD\), имеет координаты \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)\).