Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, вписанные в сферу,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Ребро куба равно \(a\). Найдите радиус сферы, описанной около него.

Ответ

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Решение № 48066:

Для решения задачи о нахождении радиуса сферы, описанной около куба с ребром \(a\), выполним следующие шаги:

1. Запишем, что ребро куба равно \(a\).
2. Сфера, описанная около куба, проходит через все вершины куба. Следовательно, диаметр сферы равен длине диагонали куба.
3. Найдем длину диагонали куба. Для этого сначала найдем длину диагонали одной из граней куба. Диагональ грани куба образует прямоугольный треугольник с катетами, равными ребру куба \(a\).
4. Применим теорему Пифагора для нахождения диагонали грани куба: \[ d_{\text{грани}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
5. Теперь найдем длину диагонали куба, которая образует прямоугольный треугольник с катетами, равными \(a\) и \(a\sqrt{2}\).
6. Применим теорему Пифагора для нахождения длины диагонали куба: \[ d_{\text{куба}} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
7. Так как диаметр сферы равен длине диагонали куба, то диаметр сферы равен \(a\sqrt{3}\).
8. Радиус сферы равен половине диаметра: \[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, радиус сферы, описанной около куба с ребром \(a\), равен \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Ответ: \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)