Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Через катет \(BC=a\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) (угол \(C\) равен \(90^{\circ}\)) проведена плоскость \(\alpha\), образующая с плоскостью треугольника угол \(30^{\circ}\). Найдите расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\).
Ответ
\(\frac{a}{2}\)
Решение № 47901:
Для решения задачи Через катет \(BC=a\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) (угол \(C\) равен \(90^{\circ}\)) проведена плоскость \(\alpha\), образующая с плоскостью треугольника угол \(30^{\circ}\). Найдите расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\) выполним следующие шаги:
- Запишем данные условия задачи:
- Треугольник \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным треугольником с углом \(C\) равным \(90^{\circ}\).
- Катет \(BC = a\).
- Плоскость \(\alpha\) проходит через катет \(BC\) и образует с плоскостью треугольника угол \(30^{\circ}\).
- Определим гипотенузу \(AB\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\):
\[
AB = a\sqrt{2}
\]
- Построим перпендикуляр \(AD\) из вершины \(A\) к плоскости \(\alpha\). Точка \(D\) принадлежит прямой \(BC\), так как плоскость \(\alpha\) проходит через \(BC\).
- Используем теорему трех перпендикуляров, которая утверждает, что если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия пересечения этих двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости. В нашем случае это означает, что линия \(AD\) перпендикулярна \(BC\).
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\), где \(AD\) — высота, опущенная из вершины \(A\) на плоскость \(\alpha\). Угол между плоскостями равен \(30^{\circ}\).
- Используем тригонометрические соотношения для нахождения длины \(AD\):
\[
AD = AB \cdot \sin(30^{\circ})
\]
Подставим значения:
\[
AD = a\sqrt{2} \cdot \sin(30^{\circ})
\]
Поскольку \(\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}\), получаем:
\[
AD = a\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]
- Таким образом, расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно:
\[
AD = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]
Ответ: \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)