Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Через сторону \(BC\) треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha \) под углом \(30^{\circ}\) к плоскости треугольника. Высота \(AD\) треугольника \(ABC\) равна \(a\). Найдите расстояние от вершины \(A\) треугольника до плоскости \(\alpha \) .

Ответ

\(\frac{a}{2}\)

Решение № 47900:

Для решения задачи найдём расстояние от вершины \(A\) треугольника \(ABC\) до плоскости \(\alpha\), проведённой через сторону \(BC\) под углом \(30^\circ\) к плоскости треугольника. Высота \(AD\) треугольника \(ABC\) равна \(a\).

1. Обозначим \(D\) как основание высоты \(AD\) треугольника \(ABC\), так что \(AD = a\).
2. Плоскость \(\alpha\) проходит через сторону \(BC\) и наклонена под углом \(30^\circ\) к плоскости треугольника \(ABC\).
3. Пусть \(E\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\).
4. Тогда \(AE\) — это расстояние, которое нам нужно найти.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADE\), где \(AD\) — катет, \(AE\) — катет, и \(\angle ADE = 30^\circ\).
6. Используем тригонометрическое соотношение для нахождения \(AE\): \[ AE = AD \cdot \sin(30^\circ) \]
7. Подставим значения: \[ AE = a \cdot \sin(30^\circ) \]
8. Значение \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому: \[ AE = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \]

Таким образом, расстояние от вершины \(A\) треугольника до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{a}{2}\). Ответ: \(\frac{a}{2}\)