Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
В кубе \(A…D_{1}\) найдите угол наклона плоскости \(ABC_{1}\) к плоскости \(ABC\). Ответ дать в градусах, округлить до целого числа.
Ответ
\(45^{\circ}\)
Решение № 47897:
Для решения задачи о нахождении угла наклона плоскости \(ABC_{1}\) к плоскости \(ABC\) в кубе \(A…D_{1}\), выполним следующие шаги:
- Определим координаты точек куба. Пусть куб имеет ребро длины 1. Тогда координаты точек будут:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(1, 0, 0)\)
- \(C(1, 1, 0)\)
- \(C_{1}(1, 1, 1)\)
- Найдем нормаль к плоскости \(ABC\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежат в этой плоскости:
- \(\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)\)
- \(\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)\)
Нормаль \(\mathbf{n_{ABC}}\) к плоскости \(ABC\) можно найти через векторное произведение:
\[
\mathbf{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix} = (0, 0, 1)
\]
- Найдем нормаль к плоскости \(ABC_{1}\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC_{1}}\) лежат в этой плоскости:
- \(\overrightarrow{AC_{1}} = (1, 1, 1)\)
Нормаль \(\mathbf{n_{ABC_{1}}}\) к плоскости \(ABC_{1}\) можно найти через векторное произведение:
\[
\mathbf{n_{ABC_{1}}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_{1}} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = (0, 1, -1)
\]
- Найдем угол между нормалями \(\mathbf{n_{ABC}}\) и \(\mathbf{n_{ABC_{1}}}\). Угол между двумя векторами можно найти по формуле:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{n_{ABC}} \cdot \mathbf{n_{ABC_{1}}}}{\|\mathbf{n_{ABC}}\| \|\mathbf{n_{ABC_{1}}}\|}
\]
Подставим значения:
\[
\mathbf{n_{ABC}} \cdot \mathbf{n_{ABC_{1}}} = (0, 0, 1) \cdot (0, 1, -1) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = -1
\]
\[
\|\mathbf{n_{ABC}}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
\]
\[
\|\mathbf{n_{ABC_{1}}}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
\]
\[
\cos \theta = \frac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ
\]
Таким образом, угол наклона плоскости \(ABC_{1}\) к плоскости \(ABC\) равен \(135^\circ\).
Ответ: \(135^\circ\)