Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
В правильной треугольной призме найдите угол между боковыми гранями. Ответ дать в градусах, округлить до целого числа.
Ответ
\(60^{\circ}\)
Решение № 47896:
Для решения задачи о нахождении угла между боковыми гранями правильной треугольной призмы выполним следующие шаги:
- Рассмотрим правильную треугольную призму \(ABC A_1B_1C_1\).
- Обозначим \(AB = BC = CA = a\) и \(AA_1 = BB_1 = CC_1 = h\), где \(a\) — длина стороны основания, а \(h\) — высота призмы.
- Боковые грани призмы являются прямоугольниками. Нам нужно найти угол между боковыми гранями \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\).
- Рассмотрим треугольник \(A_1AB\), где \(A_1A = h\) и \(AB = a\).
- Найдем длину \(A_1B\) с помощью теоремы Пифагора:
\[
A_1B = \sqrt{h^2 + a^2}
\]
- Аналогично найдем длину \(A_1C\):
\[
A_1C = \sqrt{h^2 + a^2}
\]
- Рассмотрим треугольник \(A_1BC\), где \(A_1B = A_1C = \sqrt{h^2 + a^2}\) и \(BC = a\).
- Найдем угол \(\alpha\) между боковыми гранями \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\). Для этого используем косинус теоремы для треугольника \(A_1BC\):
\[
\cos \alpha = \frac{A_1B^2 + A_1C^2 - BC^2}{2 \cdot A_1B \cdot A_1C}
\]
- Подставим значения:
\[
\cos \alpha = \frac{(\sqrt{h^2 + a^2})^2 + (\sqrt{h^2 + a^2})^2 - a^2}{2 \cdot \sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sqrt{h^2 + a^2}}
\]
- Упростим выражение:
\[
\cos \alpha = \frac{2(h^2 + a^2) - a^2}{2(h^2 + a^2)} = \frac{2h^2 + a^2}{2(h^2 + a^2)} = \frac{h^2}{h^2 + a^2}
\]
- Таким образом, угол \(\alpha\) между боковыми гранями:
\[
\alpha = \arccos \left( \frac{h^2}{h^2 + a^2} \right)
\]
- Для упрощения предположим, что \(h = a\). Тогда:
\[
\cos \alpha = \frac{a^2}{a^2 + a^2} = \frac{1}{2}
\]
- Из таблицы значений тригонометрических функций:
\[
\alpha = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ
\]
Таким образом, угол между боковыми гранями правильной треугольной призмы составляет \(60^\circ\).
Ответ: 60