Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах: "Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна ортогональной проекции этой наклонной на данную плоскость".

Ответ

NaN

Решение № 47832:

Для доказательства теоремы, обратной теореме о трех перпендикулярах, выполним следующие шаги:

1. Пусть \( l \) — прямая, лежащая в плоскости \( \alpha \), и \( m \) — наклонная к плоскости \( \alpha \).
2. Пусть \( l \perp m \) (прямая \( l \) перпендикулярна наклонной \( m \)).
3. Рассмотрим ортогональную проекцию \( m' \) наклонной \( m \) на плоскость \( \alpha \).
4. Необходимо доказать, что \( l \perp m' \).
5. Пусть \( O \) — точка пересечения прямой \( l \) и плоскости \( \alpha \).
6. Пусть \( A \) — точка пересечения наклонной \( m \) с плоскостью \( \alpha \).
7. Пусть \( B \) — точка пересечения наклонной \( m \) с плоскостью \( \alpha \), отличная от \( A \).
8. Пусть \( B' \) — ортогональная проекция точки \( B \) на плоскость \( \alpha \).
9. Так как \( l \perp m \), то \( l \perp AB \).
10. Так как \( B' \) — ортогональная проекция точки \( B \) на плоскость \( \alpha \), то \( B' \) лежит на прямой \( m' \).
11. Так как \( l \) лежит в плоскости \( \alpha \) и перпендикулярна \( AB \), то \( l \) также перпендикулярна \( AB' \).
12. Следовательно, \( l \perp m' \).

Таким образом, доказано, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна ортогональной проекции этой наклонной на данную плоскость. Ответ: Доказано.