Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

При одном обороте локатора радиолокационная станция обнаруживает объект с вероятностью \(70 \%\). Обнаружение объекта на каждом обороте не зависит от предыдущих оборотов. Сколько оборотов должна сделать радиолокационная станция, чтобы обнаружить объект с вероятностью, превышающей \(99,9 \%\)?

Ответ

6 оборотов.

Решение № 46022:

1. Обозначим события:
   • \( A \) — событие, что объект обнаружен за один оборот.
   • \( B \) — событие, что объект не обнаружен за один оборот.
   • \( \overline{B} \) — событие, что объект обнаружен за один оборот.
2. Из условия задачи известны следующие вероятности:
   • \( P(A) = 0.7 \) — вероятность обнаружения объекта за один оборот.
   • \( P(B) = 0.3 \) — вероятность необнаружения объекта за один оборот.
3. Необходимо найти число оборотов \( n \), при котором вероятность обнаружения объекта превышает \( 99.9\% \).
4. Вероятность того, что объект не будет обнаружен за \( n \) оборотов: \[ P(B^n) = P(B)^n = 0.3^n \]
5. Вероятность того, что объект будет обнаружен за \( n \) оборотов: \[ P(\overline{B^n}) = 1 - P(B^n) = 1 - 0.3^n \]
6. Нам нужно, чтобы эта вероятность была больше \( 99.9\% \): \[ 1 - 0.3^n > 0.999 \]
7. Решим неравенство: \[ 0.3^n < 0.001 \]
8. Применим логарифмирование для решения неравенства: \[ \log(0.3^n) < \log(0.001) \] \[ n \log(0.3) < \log(0.001) \]
9. Поскольку \( \log(0.3) \) отрицательно, делим на \( \log(0.3) \) и меняем знак неравенства: \[ n > \frac{\log(0.001)}{\log(0.3)} \]
10. Вычислим значения логарифмов: \[ \log(0.001) = \log(10^{-3}) = -3 \] \[ \log(0.3) \approx -0.52288 \]
11. Подставим значения: \[ n > \frac{-3}{-0.52288} \approx 5.738 \]
12. Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округлим вверх: \[ n = 6 \]

Ответ: 6 оборотов.