Схема состоит из трёх электрических блок... — независимые события, 10-11 класс
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Схема состоит из трёх электрических блоков на рисунке ниже, каждый
из которых работает безотказно в течение года с вероятностью \(p\).
Если выходит из строя хотя бы один блок, то система перестаёт работать. Для увеличения надёжности схему дополняют ещё тремя блоками на следующем рисунке. Какова вероятность безотказной работы системы в течение года? Увеличится ли надёжность системы, если использовать схему, изображённую на рисунке третьем рисунке?
Ответ
\(2p^3-p^6\). При переходе на схему, изображённую на рисунке ниже, вероятность безотказной работы увеличится (не уменьшится при \(р = 0\) или \(р = 1\) и будет равной \(p^2(2- р)^3\).
Решение № 46020:
- Обозначим события:
- \( A \) — система работает безотказно в течение года.
- \( B_i \) — \( i \)-й блок работает безотказно в течение года, где \( i = 1, 2, 3 \).
- Из условия задачи известны следующие вероятности:
- \( P(B_i) = p \) — вероятность безотказной работы одного блока в течение года.
- Для первой схемы (три блока, работающие параллельно):
- Система работает безотказно, если все три блока работают безотказно.
- Вероятность безотказной работы системы: \[ P(A) = P(B_1) \cdot P(B_2) \cdot P(B_3) = p \cdot p \cdot p = p^3 \]
- Для второй схемы (шесть блоков, работающие параллельно):
- Система работает безотказно, если все шесть блоков работают безотказно.
- Вероятность безотказной работы системы: \[ P(A) = P(B_1) \cdot P(B_2) \cdot P(B_3) \cdot P(B_4) \cdot P(B_5) \cdot P(B_6) = p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p = p^6 \]
- Сравним вероятности безотказной работы для первой и второй схемы:
- Для первой схемы: \( P(A) = p^3 \).
- Для второй схемы: \( P(A) = p^6 \).
- Так как \( p \) — это вероятность безотказной работы одного блока, и \( 0 < p < 1 \), то \( p^6 < p^3 \).
- Следовательно, надёжность системы снижается при usoиспользовании второй схемы.