Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Электрический блок на рисунке ниже работает безотказно в течение года с вероятностью \(р\). Для увеличения надёжности электрический блок дублируют ещё тремя такими же блоками так, что полученная система работает тогда, когда работает по крайней мере один из блоков на третьем рисунке внизу. Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломкакаждого электрического блока происходит независимо от работы других блоков?

Ответ

\(1-(1-p)^4\).

Решение № 46019:

Для решения задачи о вероятности безотказной работы системы из четырёх электрических блоков, каждый из которых работает безотказно с вероятностью \( p \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Обозначим события:
   • \( A \) — система работает безотказно в течение года.
   • \( B_i \) — \( i \)-й блок работает безотказно в течение года.
   • \( \overline{B_i} \) — \( i \)-й блок не работает безотказно в течение года.
2. Из условия задачи известны следующие вероятности:
   • \( P(B_i) = p \) — вероятность безотказной работы одного блока.
   • \( P(\overline{B_i}) = 1 - p \) — вероятность отказа одного блока.
3. Система работает безотказно, если хотя бы один блок работает безотказно. Это эквивалентно тому, что система не работает безотказно, если все блоки не работают безотказно.
4. Вероятность того, что один блок не работает безотказно, равна \( 1 - p \).
5. Вероятность того, что все четыре блока не работают безотказно, равна \( (1 - p)^4 \).
6. Тогда вероятность того, что система работает безотказно, равна дополнению вероятности того, что все блоки не работают безотказно:
\[ P(A) = 1 - P(\overline{B_1}) \cdot P(\overline{B_2}) \cdot P(\overline{B_3}) \cdot P(\overline{B_4}) = 1 - (1 - p)^4 \]
7. Подставим известные значения:
\[ P(A) = 1 - (1 - p)^4 \]
8. Таким образом, полное выражение для вероятности безотказной работы системы будет:
\[ P(A) = 1 - (1 - p)^4 \]

Ответ: \( P(A) = 1 - (1 - p)^4 \)