Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Электрический блок на рисунке ниже работает безотказно в течение года с вероятностью \(р\). Для увеличения надёжности электрический блок дублируют ещё одним таким же блоком так,что полученная система работает тогда, когда работает по крайней мере один из блоков на втором рисунке ниже. Какова вероятность безотказной работы системы в течение года,если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы других блоков?

Ответ

\(2p-p^2\).

Решение № 46018:

Для решения задачи используем теорию вероятностей и формулу для вероятности события, являющегося объединением независимых событий.

1. Обозначим события:
   • \( A \) — первый блок работает безотказно в течение года.
   • \( B \) — второй блок работает безотказно в течение года.
2. Из условия задачи известно:
   • \( P(A) = p \) — вероятность безотказной работы одного блока.
   • \( P(B) = p \) — вероятность безотказной работы второго блока.
3. Система работает безотказно, если работает хотя бы один из блоков. Это можно выразить через события \( A \) и \( B \): \[ P(\text{система работает}) = P(A \cup B) \]
4. Используем формулу для вероятности объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
5. Так как события \( A \) и \( B \) независимы, то: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = p \cdot p = p^2 \]
6. Подставим известные значения в формулу: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = p + p - p^2 = 2p - p^2 \]
7. Таким образом, вероятность безотказной работы системы в течение года: \[ P(\text{система работает}) = 2p - p^2 \]

Полное выражение будет выглядеть так: \[ P(\text{система работает}) = 2p - p^2 \] Ответ: \( 2p - p^2 \)