Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Вероятность того, что футбольный матч между командами \(А\) и \(В\) завершится вничью, составляет \(50 \%\). Вероятность победы команды \(А\) равна \(20 \%\), а команды \(В\) — \(30 \%\). Команды \(А\) и \(В\) планируют провести серию из четырёх поединков между собой. Какова вероятность того, что команда \(А\) победит только один раз в серии?

Ответ

\(40,96\%\).

Решение № 46017:

1. Обозначим события:
   • \( X \) — команда \(А\) победит только один раз в серии из четырёх матчей.
2. Известны следующие вероятности:
   • \( P(A) = 0.2 \) — вероятность победы команды \(А\) в одном матче.
   • \( P(B) = 0.3 \) — вероятность победы команды \(В\) в одном матче.
   • \( P(D) = 0.5 \) — вероятность ничьей в одном матче.
3. Команда \(А\) может победить в одном из четырёх матчей, а в остальных матчах должны быть либо победы команды \(В\), либо ничьи. Для этого используем биномиальное распределение.
4. Вероятность того, что команда \(А\) победит ровно один раз в серии из четырёх матчей, определяется формулой биномиального распределения: \[ P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot P(A) \cdot (P(B) + P(D))^3 \]
5. Вычислим комбинаторное число: \[ \binom{4}{1} = 4 \]
6. Вычислим вероятность того, что команда \(А\) не победит в одном матче: \[ P(B) + P(D) = 0.3 + 0.5 = 0.8 \]
7. Теперь подставим известные значения в формулу: \[ P(X=1) = 4 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^3 \]
8. Вычислим каждое слагаемое: \[ (0.8)^3 = 0.512 \] \[ 4 \cdot 0.2 = 0.8 \]
9. Сложим полученные значения: \[ P(X=1) = 0.8 \cdot 0.512 = 0.4096 \]

Полное выражение будет выглядеть так: \[ P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot P(A) \cdot (P(B) + P(D))^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.512 = 0.4096 \] Ответ: 0.4096