Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Среди лотерейных билетов \(10\%\) выигрышных. Игрок приобрёл 3 билета. Какова вероятность того, что среди купленных билетов будет ровно два выигрышных?

Ответ

\(2,7\%\).

Решение № 46012:

1. Обозначим события:
   • \( A \) — среди купленных билетов ровно два выигрышных.
   • \( B \) — вероятность того, что билет выигрышный.
   • \( \overline{B} \) — вероятность того, что билет невыигрышный.
2. Из условия задачи известны следующие вероятности:
   • \( P(B) = 0.1 \) — вероятность того, что билет выигрышный.
   • \( P(\overline{B}) = 0.9 \) — вероятность того, что билет невыигрышный.
3. Необходимо найти вероятность того, что среди 3 купленных билетов ровно два выигрышных. Для этого воспользуемся биномиальным распределением. Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где:
   • \( n \) — общее количество испытаний (билетов).
   • \( k \) — количество успешных испытаний (выигрышных билетов).
   • \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (выигрышного билета).
   • \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент.
4. Подставим известные значения в формулу: \[ P(A) = \binom{3}{2} (0.1)^2 (0.9)^1 \]
5. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \]
6. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(A) = 3 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9) \]
7. Вычислим каждое слагаемое: \[ (0.1)^2 = 0.01 \] \[ 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 0.027 \]
8. Сложим полученные значения: \[ P(A) = 0.027 \]

Полное выражение будет выглядеть так: $$P(A) = \binom{3}{2} (0.1)^2 (0.9) = 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 0.027$$ Ответ: 0.027