Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Среди лотерейных билетов \(10\%\) выигрышных. Игрок приобрёл 3 билета. Какова вероятность того, что среди купленных билетов будет ровно один выигрышный?
Ответ
\(24,3\%\).
Решение № 46011:
Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списков:
- Обозначим события:
- \( A \) — среди купленных билетов ровно один выигрышный.
- \( p \) — вероятность того, что билет выигрышный.
- \( q \) — вероятность того, что билет невыигрышный.
- Из условия задачи известно:
- \( p = 0.1 \) — вероятность того, что билет выигрышный.
- \( q = 1 - p = 0.9 \) — вероятность того, что билет невыигрышный.
- Используем биномиальное распределение для нахождения вероятности того, что среди 3 билетов ровно один выигрышный. Формула биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
где:
- \( n \) — количество билетов (в данном случае \( n = 3 \)).
- \( k \) — количество выигрышных билетов (в данном случае \( k = 1 \)).
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- Подставим значения в формулу:
\[ P(X = 1) = \binom{3}{1} p^1 q^{3-1} \]
- Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \]
- Теперь подставим значения \( p \) и \( q \):
\[ P(X = 1) = 3 \cdot 0.1^1 \cdot 0.9^2 \]
- Вычислим каждое слагаемое:
\[ 0.1^1 = 0.1 \]
\[ 0.9^2 = 0.81 \]
- Сложим полученные значения:
\[ P(X = 1) = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 3 \cdot 0.081 = 0.243 \]
Полное выражение будет выглядеть так:
$$P(X = 1) = \binom{3}{1} p^1 q^{3-1} = 3 \cdot 0.1^1 \cdot 0.9^2 = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 0.243 $$
Ответ: 0.243