Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Андрей попадает в мишень с вероятностью 0,4, Сергей — 0,5, а Пётр — 0,7. Все трое делаютпо одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень ровно один из юношей попадёт?

Ответ

\(36\%\).

Решение № 46007:

1. Обозначим события:
   • \( A \) — Андрей попадает в мишень.
   • \( \overline{A} \) — Андрей не попадает в мишень.
   • \( B \) — Сергей попадает в мишень.
   • \( \overline{B} \) — Сергей не попадает в мишень.
   • \( C \) — Пётр попадает в мишень.
   • \( \overline{C} \) — Пётр не попадает в мишень.
2. Из условия задачи известны следующие вероятности:
   • \( P(A) = 0.4 \)
   • \( P(B) = 0.5 \)
   • \( P(C) = 0.7 \)
3. Нам нужно найти вероятность того, что ровно один из юношей попадёт в мишень. Это событие можно разбить на три взаимоисключающих случая:
   • Андрей попадает, а Сергей и Пётр не попадают: \( P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \)
   • Сергей попадает, а Андрей и Пётр не попадают: \( P(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \)
   • Пётр попадает, а Андрей и Сергей не попадают: \( P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \)
4. Используем формулу для вероятности пересечения независимых событий:
   • \( P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \)
   • \( P(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) = P(\overline{A}) \cdot P(B) \cdot P(\overline{C}) \)
   • \( P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(C) \)
5. Сначала найдем вероятности противоположных событий:
   • \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6 \)
   • \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.5 = 0.5 \)
   • \( P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.7 = 0.3 \)
6. Теперь подставим известные значения в формулы:
   • \( P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.06 \)
   • \( P(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) = 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.09 \)
   • \( P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.7 = 0.21 \)
7. Сложим полученные вероятности: \[ P(\text{ровно один попадёт}) = 0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36 \]

Полное выражение будет выглядеть так: $$P(\text{ровно один попадёт}) = P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) + P(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) + P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = 0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36$$ Ответ: 0.36