Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, независимые события,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Пусть \(А\) и \(В\) — независимые события некоторого испытания. Докажите, что события \(\overline{А]\) и \(\overline{В}\) также являются независимыми.

Ответ

NaN

Решение № 45999:

Конечно, давайте решим задачу пошагово и выделим список в HTML-теги.

1. Обозначим события:
   • \( A \) — событие.
   • \( B \) — другое событие, независимое от \( A \).
   • \( \overline{A} \) — противоположное событие \( A \).
   • \( \overline{B} \) — противоположное событие \( B \).
2. Из условия задачи известно, что события \( A \) и \( B \) независимы. Это означает, что: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
3. Теперь рассмотрим противоположные события \( \overline{A} \) и \( \overline{B} \). Нам нужно доказать, что эти события также независимы, то есть: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \]
4. Сначала найдем вероятности противоположных событий: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \] \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) \]
5. Теперь используем формулу для вероятности пересечения противоположных событий: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) \]
6. Используем формулу для вероятности дополнения: \[ P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) \]
7. Теперь найдем вероятность объединения событий \( A \) и \( B \): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
8. Подставим известные значения: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) \]
9. Теперь подставим это в формулу для вероятности дополнения: \[ P(\overline{A \cup B}) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)) \]
10. Упростим выражение: \[ P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B) \]
11. Теперь подставим выражения для \( P(\overline{A}) \) и \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \] \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) \]
12. Подставим эти значения в формулу для вероятности пересечения: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \]
13. Упростим выражение: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B) \]
14. Таким образом, мы получили: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \]
15. Следовательно, события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) также являются независимыми.

Ответ: События \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) являются независимыми.