Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, параллилепипед,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что если все диагонали параллелепипеда конгруэнтны, то он является прямоугольным.

Ответ

NaN

Решение № 45516:

Для доказательства того, что параллелепипед с конгруэнтными диагоналями является прямоугольным, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим параллелепипед \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\).
2. Пусть \(A_1A, B_1B, C_1C, D_1D\) — рёбра параллелепипеда, а \(AC, BD, A_1C_1, B_1D_1\) — диагонали его граней.
3. По условию, все диагонали параллелепипеда конгруэнтны, то есть: \[ AC = BD = A_1C_1 = B_1D_1 \]
4. Рассмотрим параллелограммы \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). В параллелограмме диагонали равны тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.
5. Следовательно, грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) являются прямоугольниками.
6. Теперь докажем, что все боковые грани также являются прямоугольниками. Рассмотрим боковую грань \(AA_1D_1D\).
7. Диагонали \(AD\) и \(A_1D_1\) равны, так как они являются сторонами прямоугольников \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\).
8. Следовательно, боковая грань \(AA_1D_1D\) также является прямоугольником.
9. Аналогично можно доказать, что все остальные боковые грани параллелепипеда являются прямоугольниками.
10. Таким образом, все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, а это означает, что параллелепипед является прямоугольным.

Ответ: Параллелепипед с конгруэнтными диагоналями является прямоугольным.