Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

1) \(ABCD\) \(\left|AB \right|\)=14 см, \(\left|DC \right|\)= 8 см, \(\left|AC \right|=\left|BC \right|=\left|AD\right|=\left|BD \right|\)=9 см. Найдите величину двугранного угла при ребре \(AB\). 2) В тетраэдре \(ABCD\) грань \(ACD\) - правильный треугольник со стороной \(a\), грань \(ABC\) - равнобедренный прямоугольник треугольник \(\overset{\wedge}{ACB}=90^{\circ}\), длина ребра \(BD\) равна \(b\). Найдите величину двугранного угла при ребре \(AC\).

Ответ

1) \(90^{\circ}\); 2) \(cos \varphi =\frac{2a^{2}-b^{2}}{a^{2}\sqrt{3}}\)

Решение № 45359:

Для решения задачи нужно найти величину двугранного угла при ребре \(AB\) и при ребре \(AC\) в тетраэдре \(ABCD\). ### Задача 1: Найти величину двугранного угла при ребре \(AB\)

1. Запишем известные длины сторон тетраэдра: \[ |AB| = 14 \text{ см}, \quad |DC| = 8 \text{ см}, \quad |AC| = |BC| = |AD| = |BD| = 9 \text{ см} \]
2. Рассмотрим треугольник \(ABC\) и \(ABD\). Оба треугольника равнобедренные с общим основанием \(AB\).
3. Поскольку \(ABC\) и \(ABD\) равнобедренные, углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны. Обозначим их как \(\alpha\).
4. Найдем угол \(\alpha\) в треугольнике \(ABC\): \[ \cos \alpha = \frac{|AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^2}{2 \cdot |AB| \cdot |AC|} \] Подставим известные значения: \[ \cos \alpha = \frac{14^2 + 9^2 - 9^2}{2 \cdot 14 \cdot 9} = \frac{196}{252} = \frac{49}{63} \]
5. Угол \(\alpha\) найден, теперь найдем величину двугранного угла при ребре \(AB\). Двугранный угол при ребре \(AB\) образован плоскостями \(ABC\) и \(ABD\).
6. Поскольку треугольники \(ABC\) и \(ABD\) симметричны относительно плоскости \(AB\), двугранный угол при ребре \(AB\) равен \(180^\circ - 2\alpha\).
7. Подставим значение \(\alpha\): \[ \text{Двугранный угол} = 180^\circ - 2 \cdot \arccos \left(\frac{49}{63}\right) \]

### Задача 2: Найти величину двугранного угла при ребре \(AC\)

1. Запишем известные условия: \[ \text{Грань } ACD \text{ - правильный треугольник со стороной } a, \quad \text{грань } ABC \text{ - равнобедренный прямоугольный треугольник с } \angle ACB = 90^\circ, \quad |BD| = b \]
2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Поскольку он равнобедренный и прямоугольный, углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(45^\circ\).
3. Рассмотрим треугольник \(ACD\). Поскольку он правильный, все его углы равны \(60^\circ\).
4. Двугранный угол при ребре \(AC\) образован плоскостями \(ABC\) и \(ACD\).
5. Для нахождения двугранного угла используем теорему косинусов для углов между плоскостями: \[ \cos \theta = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \beta} \] где \(\alpha = 45^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), и \(\gamma = 90^\circ\).
6. Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{\cos 45^\circ \cos 60^\circ - \cos 90^\circ}{\sin 45^\circ \sin 60^\circ} \] \[ \cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
7. Таким образом, двугранный угол \(\theta\) равен: \[ \theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

Ответ: 1. Двугранный угол при ребре \(AB\) равен \(180^\circ - 2 \cdot \arccos \left(\frac{49}{63}\right)\). 2. Двугранный угол при ребре \(AC\) равен \(\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).