Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Дан треугольник \(ABC\), в котором \(\left| BC\right|\)=36 дм, \(\left| AB\right| \)=29 дм, \(\left| AC\right|\)=25 дм. Через сторону \(BC\) проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол \(\varphi\). Найдите расстояние от вершины \(A\) до плоскости и углы наклона сторон \(AC\) и к этой плоскости.

Ответ

\(\left|AA_{1} \right|=20 sin\varphi дм\), \(sin \overset{\wedge}{ACA_{1}}=\frac{4}{5}sin \varphi\), \(sin ABA_{1}=\frac{20}{29}sin\varphi \)

Решение № 45357:

Для решения задачи о треугольнике \(ABC\) с заданными сторонами и углом между плоскостями, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи: \[ \left| BC \right| = 36 \, \text{дм}, \quad \left| AB \right| = 29 \, \text{дм}, \quad \left| AC \right| = 25 \, \text{дм} \] Плоскость, проведенная через сторону \(BC\), образует угол \(\varphi\) с плоскостью треугольника.
2. Найдем периметр треугольника \(ABC\): \[ P = \left| AB \right| + \left| BC \right| + \left| AC \right| = 29 + 36 + 25 = 90 \, \text{дм} \]
3. Найдем площадь треугольника \(ABC\) с использованием формулы Герона: \[ s = \frac{P}{2} = \frac{90}{2} = 45 \, \text{дм} \] Площадь треугольника: \[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{45(45 - 29)(45 - 36)(45 - 25)} \] \[ S = \sqrt{45 \cdot 16 \cdot 9 \cdot 20} = \sqrt{129600} = 360 \, \text{дм}^2 \]
4. Найдем высоту \(h\) треугольника \(ABC\) из вершины \(A\) на сторону \(BC\): \[ S = \frac{1}{2} \left| BC \right| \cdot h \implies 360 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h \implies h = \frac{360 \cdot 2}{36} = 20 \, \text{дм} \]
5. Рассмотрим плоскость, проходящую через сторону \(BC\). Пусть \(\varphi\) — угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника \(ABC\). Расстояние от вершины \(A\) до этой плоскости будет: \[ d = h \cdot \sin \varphi \] Подставим \(h = 20 \, \text{дм}\): \[ d = 20 \cdot \sin \varphi \]
6. Найдем углы наклона сторон \(AC\) и \(AB\) к плоскости, проходящей через \(BC\). Для этого используем теорему косинусов: \[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Для угла \(\angle BAC\): \[ \cos \alpha = \frac{25^2 + 29^2 - 36^2}{2 \cdot 25 \cdot 29} = \frac{625 + 841 - 1296}{2 \cdot 25 \cdot 29} = \frac{170}{1450} = \frac{17}{145} \] \[ \alpha = \arccos \left( \frac{17}{145} \right) \]
7. Для угла \(\angle ABC\): \[ \cos \beta = \frac{25^2 + 36^2 - 29^2}{2 \cdot 25 \cdot 36} = \frac{625 + 1296 - 841}{2 \cdot 25 \cdot 36} = \frac{1080}{1800} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \] \[ \beta = \arccos \left( \frac{3}{5} \right) \]

Таким образом, решение задачи о треугольнике \(ABC\) выглядит следующим образом: - Расстояние от вершины \(A\) до плоскости, проходящей через сторону \(BC\), равно \(d = 20 \cdot \sin \varphi\). - Углы наклона сторон \(AC\) и \(AB\) к этой плоскости равны \(\arccos \left( \frac{17}{145} \right)\) и \(\arccos \left( \frac{3}{5} \right)\) соответственно.