Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Двугранный угол,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Через основание \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\); расстояние от вершины \(A\) до этой плоскости равно 4 см. Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника, если \(\left| BC\right| \)=12 см, \(\left| AB\right| \)=\(\left| AC\right| \)=10 см.

Ответ

\(30^{\circ} \)

Решение № 45356:

Для решения задачи о нахождении угла между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника \(ABC\) выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\): \(d = 4\) см.
   • Длина основания \(BC\): \(|BC| = 12\) см.
   • Длины боковых сторон \(AB\) и \(AC\): \(|AB| = |AC| = 10\) см.
2. Определим высоту треугольника \(ABC\) от вершины \(A\) до основания \(BC\).
   • Высота \(AH\) делит \(BC\) пополам, поэтому \(|BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6\) см.
   • Применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
3. Определим угол \(\varphi\) между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника \(ABC\).
   • Расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(d = 4\) см.
   • Высота треугольника \(AH = 8\) см.
   • Используем определение синуса угла между плоскостями: \[ \sin \varphi = \frac{d}{AH} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
   • Найдем угол \(\varphi\): \[ \varphi = \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ \]

Таким образом, угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника \(ABC\) равен \(30^\circ\). Ответ: \(30^\circ\)