Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) укажите углы наклона диагонали \(BD_{1}\) к плоскостям граней, имеющих общую вершину \(B\). Вычислите жти углы, если \(\left|AB \right|=\left|BB_{1} \right|=a\), \(\left|BC \right|=2a\)

Ответ

\(tg\varphi_{1}= tg\varphi _{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\), \(tg\varphi _{3}=\sqrt{2}\)

Решение № 45334:

Для решения задачи определения углов наклона диагонали \(BD_{1}\) к плоскостям граней прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\), где \(\left|AB\right| = \left|BB_{1}\right| = a\) и \(\left|BC\right| = 2a\), выполним следующие шаги:

1. Определим координаты вершин параллелепипеда:
   • \(A(0, 0, 0)\)
   • \(B(a, 0, 0)\)
   • \(C(a, 2a, 0)\)
   • \(D(0, 2a, 0)\)
   • \(A_{1}(0, 0, a)\)
   • \(B_{1}(a, 0, a)\)
   • \(C_{1}(a, 2a, a)\)
   • \(D_{1}(0, 2a, a)\)
2. Найдем координаты точек \(B\) и \(D_{1}\):
   • \(B(a, 0, 0)\)
   • \(D_{1}(0, 2a, a)\)
3. Найдем вектор \(\overrightarrow{BD_{1}}\): \[ \overrightarrow{BD_{1}} = D_{1} - B = (0 - a, 2a - 0, a - 0) = (-a, 2a, a) \]
4. Определим нормали к плоскостям граней, имеющих общую вершину \(B\):
   • Плоскость \(ABCD\): нормаль \((0, 0, 1)\)
   • Плоскость \(ABB_{1}A_{1}\): нормаль \((0, 1, 0)\)
   • Плоскость \(BCC_{1}B_{1}\): нормаль \((1, 0, 0)\)
5. Вычислим углы наклона диагонали \(BD_{1}\) к этим плоскостям:
   • Угол между \(\overrightarrow{BD_{1}}\) и нормалью \((0, 0, 1)\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD_{1}} \cdot (0, 0, 1)}{|\overrightarrow{BD_{1}}| \cdot |(0, 0, 1)|} = \frac{a}{\sqrt{(-a)^2 + (2a)^2 + a^2} \cdot 1} = \frac{a}{\sqrt{6a^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] \[ \theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \]
   • Угол между \(\overrightarrow{BD_{1}}\) и нормалью \((0, 1, 0)\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD_{1}} \cdot (0, 1, 0)}{|\overrightarrow{BD_{1}}| \cdot |(0, 1, 0)|} = \frac{2a}{\sqrt{6a^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] \[ \theta = \arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \]
   • Угол между \(\overrightarrow{BD_{1}}\) и нормалью \((1, 0, 0)\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD_{1}} \cdot (1, 0, 0)}{|\overrightarrow{BD_{1}}| \cdot |(1, 0, 0)|} = \frac{-a}{\sqrt{6a^2} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{6}} \] \[ \theta = \arccos \left(\frac{-1}{\sqrt{6}}\right) \]

Таким образом, углы наклона диагонали \(BD_{1}\) к плоскостям граней, имеющих общую вершину \(B\), равны: \[ \theta_1 = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right), \quad \theta_2 = \arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right), \quad \theta_3 = \arccos \left(\frac{-1}{\sqrt{6}}\right) \]