Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Расстояние от точки до плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что расстояние от середины отрезка до плоскости равно: 1) полусумме расстояний от концов отрезка до плоскости, если отрезок не пересекает плоскость; 2) модулю полуразности этих расстояний, если отрезок пересекает плоскость.

Ответ

NaN

Решение № 45303:

Для доказательства утверждения о расстоянии от середины отрезка до плоскости, рассмотрим два случая: когда отрезок не пересекает плоскость и когда отрезок пересекает плоскость. ### Случай 1: Отрезок не пересекает плоскость

1. Рассмотрим отрезок \(AB\) с концами \(A\) и \(B\), и пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\).
2. Пусть \(d_A\) и \(d_B\) — расстояния от концов \(A\) и \(B\) до плоскости соответственно.
3. Пусть \(d_M\) — расстояние от середины \(M\) до плоскости.
4. Так как отрезок \(AB\) не пересекает плоскость, то концы \(A\) и \(B\) находятся по одну сторону от плоскости.
5. Расстояние от середины \(M\) до плоскости можно выразить как среднее арифметическое расстояний от концов \(A\) и \(B\) до плоскости: \[ d_M = \frac{d_A + d_B}{2} \]

### Случай 2: Отрезок пересекает плоскость

1. Рассмотрим отрезок \(AB\) с концами \(A\) и \(B\), и пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\).
2. Пусть \(d_A\) и \(d_B\) — расстояния от концов \(A\) и \(B\) до плоскости соответственно.
3. Пусть \(d_M\) — расстояние от середины \(M\) до плоскости.
4. Так как отрезок \(AB\) пересекает плоскость, то концы \(A\) и \(B\) находятся по разные стороны от плоскости.
5. Расстояние от середины \(M\) до плоскости можно выразить как модуль полуразности расстояний от концов \(A\) и \(B\) до плоскости: \[ d_M = \left| \frac{d_A - d_B}{2} \right| \]

Таким образом, мы доказали, что расстояние от середины отрезка до плоскости равно: 1. Полусумме расстояний от концов отрезка до плоскости, если отрезок не пересекает плоскость. 2. Модулю полуразности этих расстояний, если отрезок пересекает плоскость.