Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основания усеченной пирамиды - равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны \(m\) и \(n\) (\(m>n\)). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол \(\varphi\). Найдите объем усеченной пирамиды.

Ответ

\(\frac{1}{24}\left ( m^{3}-n^{3} \right )tg\varphi\)

Решение № 44862:

Для решения задачи о нахождении объема усеченной пирамиды с основаниями в виде равнобедренных прямоугольных треугольников, выполним следующие шаги:

1. Определим основные обозначения:
   • \(S_1\) и \(S_2\) — площади оснований усеченной пирамиды.
   • \(H\) — высота усеченной пирамиды.
   • \(m\) и \(n\) — гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников (\(m > n\)).
   • \(\varphi\) — угол между боковой гранью и основанием.
2. Вычислим площади оснований \(S_1\) и \(S_2\):
   • Площадь треугольника с гипотенузой \(m\): \[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} m^2 \sin(\theta) \] где \(\theta\) — угол между катетами треугольника.
   • Площадь треугольника с гипотенузой \(n\): \[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot n \cdot n \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} n^2 \sin(\theta) \]
3. Вычислим высоту \(H\) усеченной пирамиды:
   • Рассмотрим треугольник, образованный высотой \(H\), гипотенузой \(m\) и одним из катетов треугольника. Используем тригонометрические функции для нахождения высоты.
   • Если \(\varphi\) — угол между боковой гранью и основанием, то: \[ H = m \cdot \sin(\varphi) \]
4. Вычислим объем \(V\) усеченной пирамиды:
   • Формула объема усеченной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]
   • Подставим значения \(S_1\), \(S_2\) и \(H\): \[ V = \frac{1}{3} (m \sin(\varphi)) \left( \frac{1}{2} m^2 \sin(\theta) + \frac{1}{2} n^2 \sin(\theta) + \sqrt{\frac{1}{2} m^2 \sin(\theta) \cdot \frac{1}{2} n^2 \sin(\theta)} \right) \]
   • Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} m \sin(\varphi) \left( \frac{1}{2} (m^2 + n^2) \sin(\theta) + \frac{1}{2} m n \sin(\theta) \right) \] \[ V = \frac{1}{6} m \sin(\varphi) \sin(\theta) (m^2 + n^2 + m n) \]
5. Итоговый объем усеченной пирамиды: \[ V = \frac{1}{6} m \sin(\varphi) \sin(\theta) (m^2 + n^2 + m n) \]

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен: \[ V = \frac{1}{6} m \sin(\varphi) \sin(\theta) (m^2 + n^2 + m n) \] Ответ: \(\frac{1}{6} m \sin(\varphi) \sin(\theta) (m^2 + n^2 + m n)\)