Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны \(a\) и \(0,5a\), апофемы боковой грани равна \(a\). Найдите объем усеченной пирамиды.

Ответ

\(\frac{7\sqrt{47}a^{3}}{192}\)

Решение № 44861:

Для решения задачи о нахождении объема усеченной треугольной пирамиды выполним следующие шаги:

1. Определим параметры усеченной пирамиды:
   • Стороны оснований: \(a\) и \(0.5a\).
   • Апофемы боковой грани: \(a\).
2. Найдем площади оснований:
   • Площадь большего основания (правильного треугольника со стороной \(a\)): \[ S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
   • Площадь меньшего основания (правильного треугольника со стороной \(0.5a\)): \[ S_2 = \frac{(0.5a)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \]
3. Найдем высоту усеченной пирамиды. Для этого используем апофему боковой грани и высоту большого треугольного основания:
   • Высота большого треугольного основания: \[ h_1 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]
   • Высота меньшего треугольного основания: \[ h_2 = \frac{0.5a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} \]
   • Высота усеченной пирамиды \(H\) можно найти, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — апофема \(a\), а катеты — разности высот оснований: \[ H = \sqrt{a^2 - \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{a \sqrt{3}}{4} \right)^2} \]
   • Упростим выражение под корнем: \[ H = \sqrt{a^2 - \left( \frac{a \sqrt{3}}{4} \right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{16}} = \sqrt{\frac{16a^2 - 3a^2}{16}} = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} = \frac{a \sqrt{13}}{4} \]
4. Используем формулу объема усеченной пирамиды: \[ V = \frac{H}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \] Подставим найденные значения: \[ V = \frac{\frac{a \sqrt{13}}{4}}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}} \right) \]
5. Упростим выражение под корнем: \[ \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}} = \sqrt{\frac{a^4 \cdot 3}{64}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} \]
6. Подставим упрощенное значение: \[ V = \frac{a \sqrt{13}}{12} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} \right) \]
7. Сложим выражения в скобках: \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} = \frac{4a^2 \sqrt{3} + a^2 \sqrt{3} + 2a^2 \sqrt{3}}{16} = \frac{7a^2 \sqrt{3}}{16} \]
8. Подставим и упростим: \[ V = \frac{a \sqrt{13}}{12} \cdot \frac{7a^2 \sqrt{3}}{16} = \frac{7a^3 \sqrt{39}}{192} \]

Таким образом, объем усеченной треугольной пирамиды равен: \[ \boxed{\frac{7a^3 \sqrt{39}}{192}} \]