Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем \(V\) пирамиды можно вычислить по формуле \(V=\frac{1}{3}S \cdot r\), где \(S\)- площадь полной поверхности пирамиды, а \(r\) - радиус вписанного в пирамиду шара.

Ответ

NaN

Решение № 44857:

Для доказательства формулы объема пирамиды с вписанным шаром, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим пирамиду с основанием площадью \(B\) и высотой \(h\). Пусть \(S\) — площадь полной поверхности пирамиды, а \(r\) — радиус вписанного в пирамиду шара.
2. Если в пирамиду можно вписать шар, то объем пирамиды можно выразить через высоту \(h\) и площадь основания \(B\): \[ V = \frac{1}{3} B h \]
3. Разделим пирамиду на \(n\) треугольных граней, каждая из которых имеет площадь \(S_i\) и высоту \(h_i\). Сумма площадей всех граней равна полной поверхности пирамиды \(S\): \[ S = B + \sum_{i=1}^{n} S_i \]
4. Для каждой треугольной грани можно записать объем пирамиды через площадь грани \(S_i\) и высоту \(h_i\): \[ V_i = \frac{1}{3} S_i h_i \]
5. Поскольку все эти пирамиды имеют общую высоту \(h\), можно выразить объем всей пирамиды через сумму объемов этих треугольных граней: \[ V = \sum_{i=1}^{n} V_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3} S_i h_i \]
6. Теперь выразим высоту \(h_i\) через радиус вписанного шара \(r\). В треугольнике с высотой \(h_i\) и основанием \(r\), высота \(h_i\) равна: \[ h_i = r \]
7. Подставим \(h_i = r\) в выражение для объема: \[ V = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3} S_i r = \frac{1}{3} r \sum_{i=1}^{n} S_i \]
8. Поскольку сумма площадей всех граней равна полной поверхности пирамиды \(S\): \[ V = \frac{1}{3} r S \]

Таким образом, мы доказали, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем \(V\) пирамиды можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S r \] где \(S\) — площадь полной поверхности пирамиды, а \(r\) — радиус вписанного в пирамиду шара.