Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\). Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \(\varphi\). Найдите объем пирамиды.

Ответ

\(\frac{1}{12}ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}tg\varphi\)

Решение № 44856:

Для решения задачи найдем объем пирамиды \(SABC\) с основанием в виде прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\), где каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \(\varphi\).

1. Обозначим точку \(O\) как центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\). Эта точка является точкой пересечения биссектрис углов треугольника \(ABC\).
2. Точка \(O\) равноудалена от всех сторон треугольника \(ABC\), поэтому прямые \(SA\), \(SB\) и \(SC\) видны из точки \(O\) под одинаковым углом \(\varphi\).
3. Следовательно, \(SO\) является высотой пирамиды \(SABC\).
4. Обозначим \(r\) как радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
5. Из прямоугольного треугольника \(SOA\) имеем: \[ SO = OA \cdot \tan \varphi = r \cdot \tan \varphi \]
6. Площадь основания треугольника \(ABC\) равна: \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab \]
7. Полупериметр треугольника \(ABC\) равен: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] где \(c\) — гипотенуза треугольника \(ABC\), которая равна: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
8. Радиус вписанной окружности \(r\) можно найти по формуле: \[ r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \]
9. Теперь найдем объем пирамиды \(V_{SABC}\): \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab \cdot r \cdot \tan \varphi = \frac{1}{6} ab \cdot \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \cdot \tan \varphi \]
10. Упростим выражение для объема: \[ V_{SABC} = \frac{1}{6} \cdot \frac{a^2 b^2 \cdot \tan \varphi}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \]

Таким образом, объем пирамиды \(SABC\) равен: \[ V_{SABC} = \frac{a^2 b^2 \cdot \tan \varphi}{6(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})} \] Ответ: \[ \boxed{\frac{a^2 b^2 \cdot \tan \varphi}{6(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})}} \]