Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно \(m\) и составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\). Найдите объем пирамиды.

Ответ

\(\frac{2}{3}m^{3}cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi\)

Решение № 44853:

Для решения задачи о нахождении объема правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно \(m\) и составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим основные элементы пирамиды:
   • \(PABCD\) — правильная четырехугольная пирамида.
   • \(PO\) — высота пирамиды.
   • \(BK\) — апофема пирамиды (высота боковой грани).
   • \(AB = a\) — сторона основания пирамиды.
2. Выразим \(BK\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ BK = m \sin \varphi \]
3. Выразим сторону основания \(a\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ a = 2m \cos \varphi \]
4. Выразим высоту пирамиды \(PO\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ PO = m \sin \varphi \]
5. Найдем площадь основания \(S\): \[ S = a^2 = (2m \cos \varphi)^2 = 4m^2 \cos^2 \varphi \]
6. Используем формулу объема пирамиды \(V\): \[ V = \frac{1}{3} S \cdot PO \]
7. Подставим значения \(S\) и \(PO\) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4m^2 \cos^2 \varphi \cdot m \sin \varphi \]
8. Упростим выражение для объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4m^3 \cos^2 \varphi \sin \varphi \]
9. Используем тригонометрическое тождество \(\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi\): \[ V = \frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен: \[ V = \frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi \] Ответ: \(\frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi\)