Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: а) ее высота равна \(H\), а двугранный угол при основании равен \(\beta\); б) сторона основания равна \(m\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha\)

Ответ

а) \(\frac{4H^{3}}{3tg^{2}\beta}\); б) \(\frac{m^{3}\sqrt{cos\alpha}}{6sin\frac{\alpha}{2}}\)

Решение № 44852:

Для решения задачи найдем объем правильной четырехугольной пирамиды в двух случаях: а) если высота пирамиды равна \(H\), а двугранный угол при основании равен \(\beta\); б) если сторона основания равна \(m\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha\). ### а) Если высота пирамиды равна \(H\), а двугранный угол при основании равен \(\beta\):

1. Запишем формулу объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S H \] где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды.
2. Обозначим сторону основания через \(a\). Площадь основания квадратного основания: \[ S = a^2 \]
3. Найдем выражение для стороны основания \(a\) через \(H\) и \(\beta\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(H\), половиной диагонали основания \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\) и апофемой \(l\): \[ \frac{a \sqrt{2}}{2} = H \tan \beta \]
4. Выразим \(a\) из этого уравнения: \[ a = 2 H \tan \beta / \sqrt{2} = H \sqrt{2} \tan \beta \]
5. Подставим выражение для \(a\) в формулу площади основания: \[ S = (H \sqrt{2} \tan \beta)^2 = 2 H^2 \tan^2 \beta \]
6. Подставим выражение для \(S\) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 2 H^2 \tan^2 \beta \cdot H = \frac{2}{3} H^3 \tan^2 \beta \]

### б) Если сторона основания равна \(m\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha\):

1. Запишем формулу объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S H \] где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды.
2. Площадь основания квадратного основания: \[ S = m^2 \]
3. Найдем высоту \(H\) через \(m\) и \(\alpha\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(H\), половиной диагонали основания \(\frac{m \sqrt{2}}{2}\) и апофемой \(l\): \[ H = \frac{m \sqrt{2}}{2} \tan \alpha \]
4. Подставим выражение для \(H\) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} m^2 \cdot \frac{m \sqrt{2}}{2} \tan \alpha = \frac{m^3 \sqrt{2}}{6} \tan \alpha \]

Таким образом, объемы правильной четырехугольной пирамиды в двух случаях: а) \(V = \frac{2}{3} H^3 \tan^2 \beta\) б) \(V = \frac{m^3 \sqrt{2}}{6} \tan \alpha\)