Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен \(\varphi\), а сторона основания равна \(a\). Найдите объем пирамиды.

Ответ

\(\frac{a^{3}\sqrt{3-4 sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{24 sin\frac{\varphi}{2}}\)

Решение № 44851:

Для решения задачи о нахождении объема правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине \(\varphi\) и стороной основания \(a\), выполним следующие шаги:

1. Определим высоту пирамиды \(H\).
2. Найдем площадь основания пирамиды \(S\).
3. Вычислим объем пирамиды \(V\).

1. Определим высоту пирамиды \(H\):
   • Пусть \(O\) — центр основания пирамиды.
   • Пусть \(A\) — одна из вершин основания.
   • Пусть \(P\) — вершина пирамиды.
   • В треугольнике \(POA\) угол \(POA = 90^\circ\), \(PA = a\) и \(\angle OAP = \frac{\varphi}{2}\).
   • Тогда \(OA = a \cos \frac{\varphi}{2}\).
   • Тогда \(H = PA \sin \frac{\varphi}{2} = a \sin \frac{\varphi}{2}\).
2. Найдем площадь основания пирамиды \(S\):
   • Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\).
   • Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
3. Вычислим объем пирамиды \(V\):
   • Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S H \]
   • Подставим значения \(S\) и \(H\): \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a \sin \frac{\varphi}{2} \]
   • Упростим выражение: \[ V = \frac{a^3 \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{2}}{12} \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен: \[ V = \frac{a^3 \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{2}}{12} \] Ответ: \[ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{2}}{12}} \]