Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \(l\), если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\); б) боквое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол \(\alpha\); в) плоский угол при вершине равен \(\beta\)

Ответ

а) \(\frac{\sqrt{3}}{8}l^{3}sin 2\varphi cos\varphi\); б) \(\frac{1}{3}l^{3}cos^{2}\alpha \sqrt{3-4 cos^{2}\alpha}\); в) \(\frac{1}{3}l^{3}sin^{2}\frac{\beta}{2}\sqrt{3-4sin^{2}\frac{\beta}{2}}\)

Решение № 44850:

Для решения задачи о нахождении объема правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \( l \) в зависимости от углов \(\varphi\), \(\alpha\) и \(\beta\), выполним следующие шаги: ### а) Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\)

1. Запишем формулу объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S H \] где \( S \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.
2. Найдем площадь основания \( S \). Основание правильной треугольной пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a \). Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
3. Найдем высоту \( H \) пирамиды. Высота \( H \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\varphi\): \[ H = l \sin(\varphi) \]
4. Подставим \( S \) и \( H \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\varphi)) \]
5. Учитывая, что сторона основания \( a \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\varphi\): \[ a = l \cos(\varphi) \]
6. Подставим \( a \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{(l \cos(\varphi))^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\varphi)) \]
7. Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \cos^2(\varphi) \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\varphi)) \] \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \sqrt{3} \cos^2(\varphi) \sin(\varphi)}{4} \right) \] \[ V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\varphi) \sin(\varphi)}{12} \]

### б) Боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол \(\alpha\)

1. Запишем формулу объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S H \]
2. Найдем площадь основания \( S \). Основание правильной треугольной пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a \). Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
3. Найдем высоту \( H \) пирамиды. Высота \( H \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\alpha\): \[ H = l \sin(\alpha) \]
4. Подставим \( S \) и \( H \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\alpha)) \]
5. Учитывая, что сторона основания \( a \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\alpha\): \[ a = l \cos(\alpha) \]
6. Подставим \( a \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{(l \cos(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\alpha)) \]
7. Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \cos^2(\alpha) \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\alpha)) \] \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \sqrt{3} \cos^2(\alpha) \sin(\alpha)}{4} \right) \] \[ V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\alpha) \sin(\alpha)}{12} \]

### в) Плоский угол при вершине равен \(\beta\)

1. Запишем формулу объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S H \]
2. Найдем площадь основания \( S \). Основание правильной треугольной пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a \). Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
3. Найдем высоту \( H \) пирамиды. Высота \( H \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\beta\): \[ H = l \sin(\beta) \]
4. Подставим \( S \) и \( H \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\beta)) \]
5. Учитывая, что сторона основания \( a \) связана с боковым ребром \( l \) и углом \(\beta\): \[ a = l \cos(\beta) \]
6. Подставим \( a \) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{(l \cos(\beta))^2 \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\beta)) \]
7. Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \cos^2(\beta) \sqrt{3}}{4} \right) (l \sin(\beta)) \] \[ V = \frac{1}{3} \left( \frac{l^2 \sqrt{3} \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{4} \right) \] \[ V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{12} \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \( l \) и углами \(\varphi\), \(\alpha\) и \(\beta\) можно найти по формулам: 1. \( V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\varphi) \sin(\varphi)}{12} \) 2. \( V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\alpha) \sin(\alpha)}{12} \) 3. \( V = \frac{l^3 \sqrt{3} \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{12} \)