Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонам \(a\) и \(b\). Боковое ребро длины \(c\) составляет со смежными сторонами основания углы, равные \(\varphi\). Найдите объем параллелепипеда.

Ответ

\(abc\sqrt{-cos2\varphi}\)

Решение № 44844:

Для решения задачи найти объем наклонного параллелепипеда с основанием в виде прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) и боковым ребром длины \(c\), составляющим углы \(\varphi\) со смежными сторонами основания, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные условия задачи:
   • Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\).
   • Боковое ребро длины \(c\).
   • Углы между боковым ребром и смежными сторонами основания равны \(\varphi\).
2. Найдем площадь основания \(S\): \[ S = a \cdot b \]
3. Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти высоту \(h\), перпендикулярную к плоскости основания. Используем теорему трех перпендикуляров. Высота \(h\) может быть найдена через проекцию бокового ребра на основание.
4. Проекция бокового ребра на плоскость основания \(c_{\text{проекция}}\) может быть найдена по формуле: \[ c_{\text{проекция}} = c \cdot \cos(\varphi) \]
5. Высота \(h\) параллелепипеда: \[ h = c \cdot \sin(\varphi) \]
6. Найдем объем \(V\) параллелепипеда, используя площадь основания \(S\) и высоту \(h\): \[ V = S \cdot h = a \cdot b \cdot c \cdot \sin(\varphi) \]

Таким образом, объем параллелепипеда равен: \[ V = a \cdot b \cdot c \cdot \sin(\varphi) \] Ответ: \(a \cdot b \cdot c \cdot \sin(\varphi)\)