Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Основание призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\). Вершина \(A_{1}\) проектируется в центр этого основания, а ребро \(AA_{1}\) составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\). Найдите объем призмы.
Ответ
\(\frac{1}{4}m^{3}tg\varphi\)
Решение № 44842:
Для решения задачи найти объем призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) с равносторонним треугольником \(ABC\) со стороной \(m\) и углом \(\varphi\) между ребром \(AA_{1}\) и плоскостью основания, выполним следующие шаги:
- Запишем известные данные:
- Основание призмы — равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\).
- Вершина \(A_{1}\) проектируется в центр основания \(ABC\).
- Ребро \(AA_{1}\) составляет угол \(\varphi\) с плоскостью основания.
- Найдем высоту \(h\) призмы:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AA_{1}O\), где \(O\) — центр треугольника \(ABC\).
- Пусть \(AO = r\) — радиус описанной окружности треугольника \(ABC\).
- Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной \(m\) равен \(r = \frac{m \sqrt{3}}{3}\).
- Выразим высоту \(h\) через угол \(\varphi\):
- Из прямоугольного треугольника \(AA_{1}O\) имеем:
\[
\tan(\varphi) = \frac{h}{r}
\]
- Следовательно,
\[
h = r \cdot \tan(\varphi) = \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi)
\]
- Найдем площадь основания \(S\):
- Площадь равностороннего треугольника со стороной \(m\) равна:
\[
S = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}
\]
- Вычислим объем призмы \(V\):
- Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
\[
V = S \cdot h = \left( \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} \right) \cdot \left( \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi) \right)
\]
- Упростим выражение:
\[
V = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi) = \frac{m^3 \cdot 3}{12} \cdot \tan(\varphi) = \frac{m^3 \tan(\varphi)}{4}
\]
Таким образом, объем призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) равен:
\[
\boxed{\frac{m^3 \tan(\varphi)}{4}}
\]