Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем наклонной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), если \(AB=BC=CA=a\), \(ABB_{1}A_{1}\) - ромб, \(AB_{1} < BA_{1}\), \(AB_{1}=b\) двугранный угол с ребром \(AB\) прямой.

Ответ

\(\frac{ab\sqrt{12a^{2}-3b^{2}}}{8}\)

Решение № 44841:

Для решения задачи о нахождении объема наклонной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем данные условия:
   • \(AB = BC = CA = a\)
   • \(ABB_{1}A_{1}\) - ромб
   • \(AB_{1} < BA_{1}\)
   • \(AB_{1} = b\)
   • Двугранный угол с ребром \(AB\) прямой
2. Определим, что основания призмы \(ABC\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) - правильные треугольники со стороной \(a\).
3. Найдем площадь основания \(ABC\): \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
4. Определим высоту призмы \(h\). Поскольку \(ABB_{1}A_{1}\) - ромб, \(AB_{1}\) и \(BA_{1}\) - диагонали ромба. Пусть \(h\) - высота призмы, тогда: \[ h = \sqrt{AB_{1}^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
5. Упростим выражение для высоты \(h\): \[ h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} \]
6. Найдем объем призмы \(V\): \[ V = S_{ABC} \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} \]
7. Упростим выражение для объема: \[ V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{4b^2 - a^2}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3} \sqrt{4b^2 - a^2}}{8} \]

Таким образом, объем наклонной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) равен: \[ \boxed{\frac{a^2 \sqrt{3} \sqrt{4b^2 - a^2}}{8}} \]