Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сечение тела, изображенного на рисунке (Geometr-10,11_27.png), плоскостью, перпендикулярной к оси \(Ox\) и проходящей через точку с абсциссой \(x\), является квадратом, сторона которого равна \(\frac{1}{x}\). Найдите объем этого тела.

Ответ

0.5

Решение № 44837:

Для решения задачи о нахождении объема тела, сечение которого плоскостью, перпендикулярной к оси \(Ox\) и проходящей через точку с абсциссой \(x\), является квадратом со стороной \(\frac{1}{x}\), выполним следующие шаги:

1. Определим площадь сечения \(S(x)\) в зависимости от \(x\): \[ S(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^2 = \frac{1}{x^2} \]
2. Найдем объем тела, используя интеграл от площади сечения по \(x\) от \(a\) до \(b\): \[ V = \int_a^b S(x) \, dx = \int_a^b \frac{1}{x^2} \, dx \]
3. Вычислим интеграл: \[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} \]
4. Определим пределы интегрирования. Поскольку сторона квадрата \(\frac{1}{x}\) должна быть положительной и конечной, рассмотрим интервал от \(a\) до \(b\), где \(a > 0\): \[ V = \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^b = -\frac{1}{b} + \frac{1}{a} \]
5. Учитывая, что \(b\) стремится к бесконечности (поскольку \(\frac{1}{x}\) стремится к нулю), получим: \[ V = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + \frac{1}{a} \right) = 0 + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \]
6. Поскольку \(a\) стремится к нулю (поскольку \(\frac{1}{x}\) стремится к бесконечности), получим: \[ V = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} = \infty \]

Таким образом, объем тела равен бесконечности, так как интеграл расходится. Ответ: \(\infty\)