Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна \(h\).

Ответ

\(\frac{\pi a^{2}h}{4 cos^{2}\alpha}\)

Решение № 44836:

Для решения задачи о нахождении объема цилиндра, в который вписана призма с основанием в виде прямоугольного треугольника с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\), и высотой \(h\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Высота призмы равна \(h\).
2. Определим гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника: \[ c = \frac{a}{\cos \alpha} \]
3. Найдем радиус \(R\) окружности, описанной около прямоугольного треугольника: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 \cos \alpha} \]
4. Площадь основания цилиндра \(S\) равна площади круга с радиусом \(R\): \[ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2 \cos \alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \cos^2 \alpha} \]
5. Объем цилиндра \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S \cdot h = \frac{\pi a^2}{4 \cos^2 \alpha} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{4 \cos^2 \alpha} \]

Таким образом, объем цилиндра равен: \[ V = \frac{\pi a^2 h}{4 \cos^2 \alpha} \] Ответ: \(\frac{\pi a^2 h}{4 \cos^2 \alpha}\)