Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В цилиндр вписана правильная \(n\) - угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а)\(n\)=3; б) \(n\)=4; в) \(n\)=6; г) \(n\)=8; д) \(n\) - произвольное целое число.

Ответ

а) \(3\sqrt{3}:4\pi\); б) \(2:\pi\); в) \(3\sqrt{3}:2\pi\); г) \(2\sqrt{2}:\pi \); д) \(\left ( \frac{1}{2}n\cdot sin\frac{360^{\circ}}{n} \right ):\pi\)

Решение № 44835:

Для решения задачи о нахождении отношения объемов правильной \(n\)-угольной призмы и цилиндра, в который она вписана, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим правильную \(n\)-угольную призму, вписанную в цилиндр. Высота призмы и цилиндра одинакова и равна \(h\). Радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен радиусу основания цилиндра \(R\).
2. Объем цилиндра \(V_{\text{цилиндр}}\) вычисляется по формуле: \[ V_{\text{цилиндр}} = \pi R^2 h \]
3. Объем правильной \(n\)-угольной призмы \(V_{\text{призма}}\) вычисляется по формуле: \[ V_{\text{призма}} = S_{\text{основания}} \cdot h \] где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания \(n\)-угольника.
4. Площадь основания правильного \(n\)-угольника определяется по формуле: \[ S_{\text{основания}} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \] где \(\sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)\) — синус угла при вершине правильного \(n\)-угольника.
5. Таким образом, объем призмы: \[ V_{\text{призма}} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \cdot h \]
6. Отношение объемов призмы и цилиндра: \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{\frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \cdot h}{\pi R^2 h} = \frac{n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2 \pi} \]
7. Теперь найдем отношение для конкретных значений \(n\):
   1. Для \(n = 3\) (треугольная призма): \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{3 \sin\left(\frac{360^\circ}{3}\right)}{2 \pi} = \frac{3 \sin(120^\circ)}{2 \pi} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \pi} = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \pi} \]
   2. Для \(n = 4\) (квадратная призма): \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{4 \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right)}{2 \pi} = \frac{4 \sin(90^\circ)}{2 \pi} = \frac{4 \cdot 1}{2 \pi} = \frac{2}{\pi} \]
   3. Для \(n = 6\) (шестиугольная призма): \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{6 \sin\left(\frac{360^\circ}{6}\right)}{2 \pi} = \frac{6 \sin(60^\circ)}{2 \pi} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \pi} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} \]
   4. Для \(n = 8\) (восьмиугольная призма): \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{8 \sin\left(\frac{360^\circ}{8}\right)}{2 \pi} = \frac{8 \sin(45^\circ)}{2 \pi} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \pi} = \frac{4 \sqrt{2}}{2 \pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \]
   5. Для произвольного целого \(n\): \[ \frac{V_{\text{призма}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2 \pi} \]

Таким образом, отношение объемов правильной \(n\)-угольной призмы и цилиндра для различных значений \(n\) выглядит следующим образом:

• Для \(n = 3\): \(\frac{3 \sqrt{3}}{4 \pi}\)
• Для \(n = 4\): \(\frac{2}{\pi}\)
• Для \(n = 6\): \(\frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}\)
• Для \(n = 8\): \(\frac{2 \sqrt{2}}{\pi}\)
• Для произвольного \(n\): \(\frac{n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2 \pi}\)