Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна \(a\).

Ответ

\(\frac{3\sqrt{3}a^{3}}{8}\)

Решение № 44828:

Для решения задачи о нахождении объема правильной треугольной призмы, через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:

   В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания. Сторона основания равна \(a\).

2. Найдем площадь основания:

   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной \(a\).

   Площадь равностороннего треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

3. Найдем высоту призмы:

   Сечение составляет угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания.

   Пусть \(H\) — высота призмы. Тогда: \[ \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} \]

   Поскольку \(\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}\): \[ \sqrt{3} = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} \]

   Решим это уравнение: \[ H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2} \]

4. Найдем объем призмы:

   Объем призмы \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} \]

   Упростим выражение: \[ V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3 \sqrt{3}}{8} \]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен: \[ \boxed{\frac{3a^3 \sqrt{3}}{8}} \]