Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную \(a\), и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол \(\beta\) с плоскостью основания. Площадь сечения равна \(Q\). Найдите объем данной призмы.

Ответ

\(\frac{Q^{2}sin 2\beta }{2a}\)

Решение № 44826:

Для решения задачи о нахождении объема прямой призмы, основанием которой является параллелограмм, выполним следующие шаги:

1. Обозначим основание призмы как параллелограмм с сторонами \(a\) и \(b\).
2. Рассмотрим сечение, проведенное через сторону \(a\) одного основания и противоположную сторону другого основания. Это сечение составляет угол \(\beta\) с плоскостью основания.
3. Обозначим высоту призмы как \(h\).
4. Сечение представляет собой параллелограмм, площадь которого равна \(Q\).
5. Площадь основания параллелограмма равна \(a \cdot b\).
6. Площадь сечения параллелограмма равна \(Q\).
7. Из угла \(\beta\) можно найти высоту сечения, которая равна \(h \cdot \sin(\beta)\).
8. Сечение параллелограмма имеет стороны \(a\) и \(h \cdot \sin(\beta)\), поэтому площадь сечения \(Q\) можно выразить как: \[ Q = a \cdot (h \cdot \sin(\beta)) \]
9. Отсюда находим высоту \(h\): \[ h = \frac{Q}{a \cdot \sin(\beta)} \]
10. Объем призмы \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = a \cdot b \cdot h \]
11. Подставим выражение для \(h\) в формулу объема: \[ V = a \cdot b \cdot \frac{Q}{a \cdot \sin(\beta)} \]
12. Упростим выражение: \[ V = \frac{b \cdot Q}{\sin(\beta)} \]

Таким образом, объем данной призмы равен: \[ \boxed{\frac{b \cdot Q}{\sin(\beta)}} \]