Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем прямой призмы \(ABCA_{1]B_{1}C_{1}\), если \(AB=BC\), \(\angle ABC =\alpha\), диагональ \(A_{1}C\) равна \(l\) и составляет с плоскостью основания угол \(\beta\).

Ответ

\(\frac{l^{3}sin \beta \cdot cos^{2}\beta }{4 tg\frac{\alpha }{2}}\)

Решение № 44825:

Для решения задачи о нахождении объема прямой призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) выполним следующие шаги:

1. Определим параметры основания призмы. Основание призмы \(ABC\) является равносторонним треугольником, поскольку \(AB = BC\) и \(\angle ABC = \alpha\).
2. Вычислим длину стороны \(AB\) через угол \(\alpha\). В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), поэтому \(\alpha = 60^\circ\).
3. Найдем длину диагонали \(A_{1}C\), равную \(l\), и угол \(\beta\), который она составляет с плоскостью основания.
4. Рассчитаем высоту призмы, используя угол \(\beta\). Высота призмы \(h\) может быть найдена как: \[ h = l \sin \beta \]
5. Найдем площадь основания призмы \(S\). Для равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\) площадь \(S\) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
6. Подставим значение \(a\) в формулу площади основания. Поскольку \(AB = a\), то: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
7. Вычислим объем призмы \(V\) по формуле: \[ V = S \cdot h \]
8. Подставим значения \(S\) и \(h\) в формулу объема: \[ V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) \cdot (l \sin \beta) \]
9. Упростим выражение для объема: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 l \sin \beta \]

Таким образом, объем прямой призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) равен: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 l \sin \beta \]