Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем прямой призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), если \(AB=BC=m\), \(\angle ABC = \varphi\) и \(BB_{1}=BD\), где \(BD\) - высота треугольника \(ABC\).

Ответ

\(0,5 m^{3} sin \varphi cos \frac{\varphi}{2}\)

Решение № 44824:

Для решения задачи о нахождении объема прямой призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем данные условия:
   • \(AB = BC = m\)
   • \(\angle ABC = \varphi\)
   • \(BB_{1} = BD\), где \(BD\) - высота треугольника \(ABC\)
2. Найдем высоту \(BD\) треугольника \(ABC\). В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ BD = AB \cdot \sin(\angle ABD) = m \cdot \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \]
3. Теперь найдем площадь основания треугольника \(ABC\). Площадь треугольника \(ABC\) равна: \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m \cdot \sin(\varphi) = \frac{1}{2} m^2 \sin(\varphi) \]
4. Найдем объем призмы. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: \[ V = S_{\triangle ABC} \cdot BB_{1} \]
5. Подставим значения \(S_{\triangle ABC}\) и \(BB_{1}\): \[ V = \left(\frac{1}{2} m^2 \sin(\varphi)\right) \cdot \left(m \cdot \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) \]
6. Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{2} m^3 \sin(\varphi) \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \]

Таким образом, объем прямой призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) равен: \[ V = \frac{1}{2} m^3 \sin(\varphi) \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \]