Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем прямоугольного параллилепипеда,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны \(a\) и \(b\). Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную \(b\), угол в \(30^{\circ}\). Найдите объем параллелепипеда.
Ответ
\(ab\sqrt{3a^{2}-b^{2}}\)
Решение № 44819:
Для решения задачи о нахождении объема прямоугольного параллелепипеда, где стороны основания равны \(a\) и \(b\), а диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью угол в \(30^{\circ}\), выполним следующие шаги:
- Обозначим высоту параллелепипеда как \(h\).
- Диагональ параллелепипеда \(D\) можно выразить через стороны основания и высоту:
\[
D = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}
\]
- Диагональ параллелепипеда составляет угол \(30^{\circ}\) с боковой гранью, содержащей сторону \(b\). Это означает, что проекция диагонали на боковую грань равна \(b\).
- Используем определение косинуса угла между диагональю и боковой гранью:
\[
\cos(30^{\circ}) = \frac{b}{D}
\]
- Зная, что \(\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим это в уравнение:
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}}
\]
- Раскроем это уравнение:
\[
\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = 2b
\]
- Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
3(a^2 + b^2 + h^2) = 4b^2
\]
- Упростим уравнение:
\[
3a^2 + 3b^2 + 3h^2 = 4b^2
\]
\[
3a^2 + 3h^2 = b^2
\]
\[
a^2 + h^2 = \frac{b^2}{3}
\]
- Решим уравнение относительно \(h^2\):
\[
h^2 = \frac{b^2}{3} - a^2
\]
- Найдем высоту \(h\):
\[
h = \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2}
\]
- Объем параллелепипеда \(V\) равен произведению площади основания на высоту:
\[
V = a \cdot b \cdot h
\]
- Подставим выражение для \(h\):
\[
V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2}
\]
Таким образом, объем параллелепипеда равен:
\[
V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2}
\]
Ответ: \(V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2}\)